위에 첨부해주신 방식은 REST-API방식 카카오 로그인입니다.
서비스측 개별 인앱브라우저에서는 "카카오톡으로 로그인"을 표시하지 않지만 크롬 같은 기본 브라우저에서는 해당 버튼을 표시합니다. 하지만, 이역시, 카카오톡으로 로그인할 수 없는 상황이라면 버튼이 작동하지 않습니다.
웹에서 카카오 로그인 구현은 JS SDK를 사용하는 방식과 REST API를 직접 사용하는 두가지 방식이 제공됩니다.
JS SDK
사용자가 카카오톡 설치 및 로그인되어 있는 모바일 환경이라면, ID/PW 입력 없이 카카오 로그인이 시작됩니다.
그 외, 환경일 경우 REST API를 사용하는 방식과 동일하게 진행됩니다.
REST API 브라우저 세션에 카카오 계정이 로그인 된 상태라면 ID/PW 입력이 카카오 로그인이 시작됩니다.
현재 REST API로 개발진행하셔서 모바일기기에 위의 사진처럼 입력 화면이 보이게 됩니다.
모바일 환경에서 카카오톡으로 바로 로그인 할수 있도록 하시려면 JS SDK를 사용하셔야 합니다.
(ID/PW입력 없이 바로 카카오 로그인 하는 방법은 JS SDK, authorize를 이용하는 방법밖에 없습니다.) JavaScript | Kakao Developers JavaScript