안녕하세요.
(1) 로그상 인가코드 요청만 있고 액세스 토큰 요청이 없는 점
(2) 사이트에서 카카오 로그인 시, 타임아웃 증상이 있는 점으로 볼때
말씀하신 전형적인 방화벽 설정 문제로 보입니다.
kapi의 경우 공지와 같이 최근 IP변경이 있었으나 액세스토큰요청은 kauth이므로 IP변경과도 무관하고
서비스측 방화벽 설정에 따라 로그인 진행되므로 카카오측 차단 케이스도 아닌 것으로 보입니다.
즉, 서비스측 방화벽 종속적인 문제로
서버에서 직접 kauth IP호출이 잘되는지, 방화벽에 다른 차단 조건은 없는지 확인해보시면 좋을 것같습니다.
(FAQ에 나와있는 IP이외에 다른 IP나 포트 허용 규칙은 없습니다.)