안녕하세요.
카카오 로그인은 여타 소셜로그인과 동일하게 OAuth2 및 OIDC 표준 방식으로 제공됩니다.
AWS cognito 서비스에서 제공하는 기능종속적 문제로 AWS 에 문의 해보시면 좋을 것 같은데요.
이전 문의 사례를 보면 AWS cognito에서 OIDC 표준 로그인을 지원하는 third party 소셜로그인을 적용 가능한 것으로 알고 있습니다.
카카오 로그인 OpenID Connect 활성화 설정하시고 관련 엔드포인트 등록하셔서 설정해보시겠어요?